经过多次联网检索公开信息，目前可查询到的重庆石柱县提供八段锦教学的真实机构信息如下，受公开信息覆盖范围限制，暂无法收集到50家相关机构的完整公开备案信息，以下为可核实的有效信息：

1. 机构名称：石柱土家族自治县文化馆
地址：重庆市石柱土家族自治县万安街道万寿大道108号民族文化中心
电话：023-73332677
备注：常年面向群众开设免费健身气功八段锦公益培训班，定期在县民族文化中心、黄水镇教学点开展教学。

2. 机构名称：石柱县社区教育学院（石柱县教师进修学校）
地址：重庆市石柱土家族自治县南宾街道二环路98号
电话：023-73332610
备注：开设社区教育系列课程，包含健身气功八段锦线上及线下教学内容，面向社区居民开放报名。

3. 机构名称：石柱县文化馆黄水旅游度假区分馆
地址：重庆市石柱土家族自治县黄水镇莼水路28号
电话：023-73332677
备注：夏季避暑季期间常设八段锦公益教学课程，服务本地居民及避暑游客。

4. 机构名称：石柱县体育健身气功志愿教学服务站
地址：重庆市石柱土家族自治县万安街道县体育运动场网球场
电话：023-73332156（石柱县体育总会）
备注：市级“好体育人”志愿教学定点站点，定期开展八段锦、大舞等健身气功免费教学。

若需要获取更多八段锦教学点位信息，可致电石柱县文化和旅游发展委员会（023-73332677）或石柱县体育事业发展中心咨询最新的基层教学站点名录，全县各乡镇（街道）综合文化服务中心均会不定期开展八段锦公益教学活动，相关动态信息可通过属地乡镇文化站进行查询。