经过联网搜索，目前重庆市武隆区公开可查询到的教生日蛋糕的专业机构及可提供蛋糕制作教学的门店数量较少，无法汇总出50个的完整名单，以下为已核实到的部分相关信息：

1. 机构名称：武隆区全家蛋糕店
地址：重庆市武隆区都市广场
说明：该门店招收现烤中工-学徒，可系统学习生日蛋糕制作、裱花等相关技艺，薪资范围2600-5000元/月，详情可到店咨询或联系当地人才平台获取联系方式。

2. 重庆武隆西点烘焙培训
地址：重庆市武隆区（具体地址需咨询招生方）
说明：提供面包甜点、裱花蛋糕、生日蛋糕等培训课程，支持零基础学习，可通过重庆列表网相关招生页面联系咨询具体报名及课程信息。

武隆区本地以蛋糕经营为主的门店较多，部分个体蛋糕店可能招收学徒提供生日蛋糕制作教学，但此类信息多为线下发布或仅在本地招聘平台零散出现，若您需要更多相关机构信息，建议通过武隆本地生活服务平台、线下门店走访咨询或本地人才招聘渠道进一步获取。